Teorema del resto en división de polinomios

El teorema del resto afirma que el valor numérico de un polinomio P(x).
Cuando x=a, coincide con el resto de la división P(x)/(x-a).

Como demostrar el teorema del resto

Si calculamos la división de polinomios P(x)/(x-a)

Sabemos que P(x)=(x-a)*d(x)+r, es decir, P(x)= cociente por divisor mas resto.
Y si calculamos el valor numérico de P(x) cuando x=a obtenemos la siguiente operación.

P(a)=(a-a)*d(a)+r=0*d(a)+r es decir, P(a)=r

observamos que si un polinomio se divide entre (x-a) y toma como valor numérico P(a)=0, la división es exacta. El teorema del resto permite calcular el valor numérico de un polinomio cuando x=a, hallando el resto de la división entre (x-a).

Ejemplo de la demostración con números.

P(1)/(1-1) P(1)=(1-1)*d(1)+r 0*d(1)+r
como cualquier número multiplicado por 0 es 0 entonces
P(1)=r

Ejercicios teorema del resto (resueltos)

Calculamos el valor numérico del polinomio P(x)=x³-3x²+x+2 dando el valor x=3

1- Dando el valor 3 a la variable x

3³-3*3²+3+2=5

2- Usando el teorema del resto Calculamos el resto de la división (x³-3x²+x+2)/(x-3)

Usamos la regla de Ruffini

Como el resto es 5, entonces P(3)=5

Para que sirve el teorema del resto

El teorema del resto nos sirve para conocer el resto de una división de polinomios en la que el divisor es del tipo (x-a) sin tener que realizar la división.

En la siguiente división calculamos el resto sin realizarla.

(2x⁴-3x²+x-1)/(x-2)

El teorema del resto afirma que este coincide con el valor del polinomio para x=2, es decir con P(2).
Comprobamos

2*2⁴-3*2²+2-1=21

El resto que obtenemos al realizar la división es r=21

Calculamos el resto de la siguiente división

(4x⁴-2x²-1)/(x+2)

1- Calculando el valor numérico del polinomio para x=-2
4*(-2)⁴-2(-2)²-1=55

Regla de Ruffini