Factorización de polinomios

factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de otros polinomios de menor grado.
Para realizar esta factorización se pueden usar varios métodos: sacar factor común, igualdades notables o aplicar la regla de Ruffini.

Divisores de un polinomio

Si un polinomio se puede expresar como producto de otros dos, decimos que estos son factores o divisores del polinomio, es decir.

P(x)=Q(x)*R(x) Q(x) y R(x) son factores o divisores de P(x)

Un polinomio es divisor de otro cuando al efectuar la división , está es exacta, es decir, el resto es 0.

Para encontrar los divisores de un polinomio P(x) cuyos coeficientes son números enteros utilizamos la regla de Ruffini, P(x)/(x-a), tomando como a, los divisores del término independiente, los divisores coinciden con las raíces de un polinomio
El divisor del término independiente que sea raíz del polinomio lo expresamos como (x-a) siendo a el divisor (esto para aplicar la regla de Ruffini).

Pasos para factorizar un polinomio usando la regla de Ruffini

1- Encontramos un divisor del término independiente.

2- Usamos la regla de Ruffini para realizar la división, tomando como a, el divisor del término independiente en la expresión (x-a).

3- El cociente y el divisor de esta operación son nuestros factores.

Factorizamos el polinomio

x⁴-2x³+3x²+2x-4

Uno de los divisores del término independiente que es raíz del polinomio según la regla de Ruffini, es 1, lo usamos en la expresión (x-a) y nos queda (x-1).

Realizando la regla de Ruffini tenemos.

El resto es cero, por lo tanto el polinomio (x-1) es divisor del polinomio original.

Tomamos el divisor y el cociente de la división y estos son los factores del polinomio original, es decir. P(x)=x⁴-2x³+3x²+2x-4=(x³-x²+2x+4)(x-1)

hemos factorizado el polinomio en producto de dos factores.

Factorización de polinomios

La factorización de polinomios es un procedimiento utilizado para escribir un polinomio como producto de factores que tengan el menor grado posible.

Para realizar la factorización de polinomios, usamos tres técnicas fundamentales.

1- Sacar factor común de polinomios, usamos esta técnica cuando todos los monomios del polinomio son múltiplos del mismo monomio.

2- Igualdades notables: se utilizan para simplificar expresiones.

3- Regla de Ruffini: Se utiliza para encontrar los divisores de un polinomio con coeficientes enteros. Los divisores obtenidos seran de la forma (x-a), con a un número entero y divisor del término independiente del polinomio original.

Ejemplos de factorización de polinomios

Factorizamos el polinomio.

P(x)=x³-5x²+6x

1- Observamos que todos los monomios son múltiplos de x (usamos el factor común de polinomios).

P(x)=x³-5x²+6x=x(x²-5x+6)

2- Aplicamos la regla de Ruffini para factorizar (x²-5x+6)

Para el divisor 2 del término independiente se cumple la regla

Recordamos que el divisor es (x-2)

Tomamos el cociente y el divisor.

(x-2)(x-3)

hemos factorizado x²-5x+6 en producto de dos factores. es decir.

(x²-5x+6)=(x-2)(x-3)

Ahora tomamos el factor que se extrajo x del polinomio original y lo agregamos a los factores. Asi tenemos factorizado el polinomio original.

x³-5x²+6x=x(x-2)(x-3)

Aplicamos la factorización de polinomios a la siguiente expresión

x⁴-1

1- Primero usamos las igualdades notables (en este caso a la inversa de suma por diferencia) nos queda la expresión.

(x⁴-1)=(x²+1)(x²-1)

2- Vemos que en uno de los factores obtenidos se puede aplica de nuevo el procedimiento que ya usamos, en el factor (x²-1), nos queda.

(x²-1)=(x+1)(x-1)

Ahora hemos factorizado el polinomio original en producto de tres factores, es decir.

(x⁴-1)=(x²+1)(x+1)(x-1)