Múltiplos y divisores de un número

Es muy importante conocer los múltiplos y divisores de un número ya que se necesitan, por ejemplo, para simplificar una fracción que es muy necesario a la hora de resolver ecuaciones, para poder saber si una división es exacta antes de resolverla, etc.

Múltiplos de un número

Los múltiplos de un número son aquellos valores que contienen al número una cantidad exacta de veces.

Uno de los métodos para saber si un numero es múltiplo de otro es realizando una división.

Veamos las siguientes divisiones.


x÷n si es exacta x es múltiplo de n
y÷n si es exacta y es múltiplo de n
z÷n si es exacta z es múltiplo de n


Según lo estudiado (x,y,z) contienen a n un número exacto de veces.

Los múltiplos de un número los obtenemos multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales.

Los múltiplos del numero n son Los productos de las multiplicaciones de ese número por cualquier número natural (n*1, n*2, n*3, n*4, n*5...).

Propiedades de los múltiplos de un número

1º Cualquier número es múltiplo de si mismo.

2º Cualquier número es múltiplo de 1.

3º La suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número.

4º El producto de dos múltiplos de un número es múltiplo de dicho número.


Realizamos los siguientes ejercicios.

Comprobamos si los números 4, 12 y 26 son múltiplos de 2

4÷2=2
El resto es 0      4 es múltiplo de 2

12÷2=6
El resto es 0     12 es múltiplo de 2

26÷2=13
El resto es 0     26 es múltiplo de 2


Calculamos los múltiplos de 3.

Multiplicamos 3 por los sucesivos números naturales

3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15, 3*6=18...


Los múltiplos de 3 es un conjunto de números infinito 3=(3,6,9,12,15,18,21,24,27...)

Divisores de un número

Dos divisores de un número son aquellos que caben en el una cantidad exacta de veces.

En las divisiones

n÷x x es divisor de n
n÷y y es divisor de n


(x,y) caben en n una cantidad exacta de veces. (Las divisiones son exactas)


Realizamos el siguiente ejercicio.

Comprobamos que 2,4 y 8 son divisores de 48.


48÷2=24 El resto es 0
48÷4=12 El resto es 0
48÷8=6 El resto es 0


2,4 y 8 caben una cantidad exacta de veces en 48.

Propiedades de los divisores de un número

1º Todo número es divisor de si mismo.

2º El número 1 es divisor de cualquier número.

3º Los números naturales que son divisores de dos números (el número que es divisor de dos números) es también divisor de su suma.

4º Un número natural que es divisor de otros dos es también divisor de su producto o multiplicación.

Números enteros

Los números enteros los utilizamos en gran cantidad de situaciones de la vida, por ejemplo al medir temperaturas que están por debajo de los 0° o profundidades inferiores a las del nivel del mar, etc,

Conjunto de números enteros

En los números enteros encontramos dos tipos de números y los diferenciamos y llamamos de la siguiente manera.

números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5 ....

Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, ....

También tenemos el número 0, el cual esta en el centro de todo este conjunto.

Los números enteros son infinitos y se representa su conjunto con la letra mayuscula Z.

Números enteros en la recta numérica

Este tipo de números los podemos representar ordenados en la recta numérica.

El 0 esta al centro de esta recta y la divide en dos semirrectas iguales.

Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero.

Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero.



Valor absoluto de los números enteros

El valor absoluto de un número entero es el valor del número sin signo, es decir, la distancia a la que esta del 0 sin importar que este a la izquierda o a la derecha.

El valor absoluto se escribe dentro de dos barras paralelas.

número│+a│ valor absoluto=a

│+5│=5          │-8│=8


Ejemplos de aplicaciones de los números enteros

Encontramos un números enteros para representar las siguientes expresiones.

Se encuentra a una profundidad de 40 metros bajo el nivel del mar.

El número entero seria -40 m

En este día de primavera nos encontramos a una temperatura de 30°C.

El número entero seria +30 °C.

Los números positivos los podemos expresar sin su signo, +5=5, +450=450, a menos que el caso requiera que especifiquemos el signo, si no es el caso, y el números no tiene signo, damos por descontado que es positivo.

Comparación de números enteros

Para comparar dos números enteros debemos tener en cuenta que están en orden creciente, es decir de menor valor a mayor, en el caso de los números enteros negativos, tienen mayor valor los números que tienen menor valor absoluto, así, el número -3 es mayor que el número -5 ya que ordenados en la recta numérica tendriamos lo siguiente.

... -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7 ...


Como podemos observar los números están ordenados de menor a mayor en orden de izquierda a derecha y comprobamos que los números negativos se ordenan de manera contraria que los positivos.

De dos números enteros positivos, es mayor el de mayor valor absoluto, +5 es mayor que +4.

De dos números enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto, -4 es mayor que -5.

De dos números, uno negativo y uno positivo es mayor siempre el número positivo.

El número 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier positivo.


Operaciones con números enteros

Las cuatro operaciones básicas que se pueden realizar con los números enteros son suma, resta multiplicación y división.

Suma de números enteros

Existen dos posibles situaciones al realizar la suma de este tipo de números.

Suma de números enteros del mismo signo.

Se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo que tienen los números.

(+4)+(+8)=4+8=12 le ponemos el mismo signo =+12

(-6)+(-3)=6+3=9 le ponemos el mismo signo =-9

Suma de números enteros de distinto signo

Se restan sus valores absolutos, (El menor del mayor) y se pone el signo que tiene el de mayor valor absoluto.

(-3)+(+5)=5-3=2 el que tiene mayor valor absoluto es +5 por lo tanto al resultado le ponemos su signo =+2

(+4)+(-9)=9-4=5 el que tiene mayor valor absoluto es -9 por lo tanto al resultado le ponemos su signo =-5

La forma de leer este tipo de operaciones es la siguiente.

En el primer ejemplo se lee menos tres mas cinco es igual a 2

El segundo ejemplo se lee cuatro mas menos nueve es igual a menos cinco.

Resta de números enteros

Para restar dos números enteros hay que sumar al primero el opuesto del segundo El opuesto de un número enteros es el mismo numero pero con signo contrario)

(+5)-(+2) al primero le sumamos el opuesto del segundo (+5)+(-2)= realizamos la suma como ya estudiamos 5-2=3 el signo =+3

(-8)-(+5) al primero le sumamos el opuesto del segundo (-8)+(-5) realizando la suma 8+5=13 y le ponemos el signo =-13

(+45)-(-15) = (+45)+(+15)=45+15=60=+60

Sumas y restas dentro de un paréntesis

Paréntesis que tienen antes el signo +

Para eliminar un paréntesis que esta precedido del signo +, se elimina el paréntesis dejando los sumandos del interior con su signo.

Ejemplo

+(-4+5-9) Eliminando el paréntesis queda -4+5-9

+(+2+8-9+7) Eliminando el paréntesis queda +2+8-9+7

Paréntesis que tienen antes el signo -

Al eliminar un paréntesis que tiene antes el signo -, todos los sumandos que se encuentran en su interior se cambian de signo

Ejemplo

-(-2+4+6) Eliminado el paréntesis cambian de signo los números del interior +2-4-6

-(+8-7-2+6) Eliminando el paréntesis queda -8+7+2-6

Realizamos las siguientes operaciones

+(4+5-2+3-7) = 4+5-2+3-7=3=+3

+(-8+2-4+13+4-6) = -8+2-4+13+4-6=1=+1

-(2+6-7+1-4) = -12-6+7-1+4=-8

-(-2+4-7-6+3) = +2-4+7+6-3=8=+8

Multiplicación de números enteros

Para multiplicar números enteros seguimos estos pasos.

1 Se multiplican sus valores absolutos.

2 Al resultado le ponemos el signo + si los números multiplicados son de mismo signo, le ponemos el signo - si los números multiplicados son de distinto signo.

Realizamos las siguientes operaciones.

(-5)(+2)=-10 son de distinto signo.
(-5)(-2)=10 son de igual signo.
(+7)(-4)=-28 son de distinto signo.
(+8)(+2)=16 son del mismo signo.

División de números enteros

Para dividir números enteros seguimos los siguientes pasos.

1 Dividimos sus valores absolutos.

2 Al resultado le ponemos el signo + si los números a dividir son del mismo signo, le ponemos el signo - si los números a dividir son de distinto signo.

Realizamos las siguientes divisiones de números enteros.

(+10)÷(+2)=5 tienen el mismo signo.
(-15)÷(+3)=-5 son de signos diferentes.
(+20)÷(-2)=-10 son de distinto signo.
(-40)÷(-4)=10 son del mismo signo.


Regla de los signos


Multiplicación

+*+=+
+*-=-
-*-=+
-*+=-

División

+÷+=+
+÷-=-
-÷-=+
-÷+=-


Jerarquía de las operaciones en números enteros

En las operaciones combinadas debemos utilizar una jerarquía u orden para poder realizarlas correctamente. Los pasos que debemos seguir son los siguientes.

1 Se resuelven los corchetes y parentesis (eliminamos corchetes y parentesis realizando las operaciones que contienen en su interior).

2 Realizamos las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

3 Realizamos las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.


Realizamos las siguientes operaciones combinadas.

[(+5)+(-2)(+2)]+(-5)(-3)-8=

Eliminamos el corchete realizando las operaciones de su interior (en este caso hay una multiplicación en su interior por lo tanto la realizamos antes que la suma) nos queda la siguiente operación.

(+1)+(-5)(-3)-8=

Realizamos las multiplicaciones.

(+1)+(+15)-8=

Realizamos las sumas y restas.

(+16)-8=8


Realizamos la siguiente operación.

(+15)÷[(+6)-(+1)]-[(+9)+(-3)]÷2=

1 Quitamos corchetes
(+15)÷[(+6)-(+1)]-[(+9)+(-3)]÷2=


2 Eliminamos parentesis
15÷(6-1)-(9-3)÷2=


3 Realizamos divisiones
15÷5-6÷2=


4 Realizamos la resta
3-3=0


El resultado de la operación original es 0